PC/PC* LYCEE CEZANNE

Convocation : à 8h15, préparation à 8h30, passage à 9h.
Examinatrice peu bavarde, qui n'a aucune réaction selon les réponses, et qui n'aide pas tant que l'on est pas totalement bloqué (elle laisse du temps pour réfléchir, y compris pour le 1er exo)

Exo 1 :
Soit n appartenant à N*. On a b(n)= (2/Pi)*int((0,Pi)[sin(nt)dt]) et v(n) et w(n) 2 fonctions définies sur [0,Pi] telles que : v(n,x)=exp(x/2)*sin(nx) et w(n,x)=(-4*v(n,x)*b(n))/(Pi*(4n²+1))

1° Calculer b(n).
2°.a) Montrer que 0 < b(n) < 4/(n*Pi) pour tout n appartenant à N* (ce sont des inégalités NON strictes). Donner la nature de Sigma[n>=1] ( (n*b(n))/(4n²+1) ) .
2°.b) Montrer que Sigma[n>=1] ( w(n,x) ) converge normalement vers une fonction C1 sur [0,Pi] que l'on précisera.
2°.c) Soit S={ u C1 sur [0,Pi] / pour tout x appartenant à [0,Pi] u''(x)-u'(x)=exp(x/2) }
Montrer qu'il existe un unique u0 appartenant à S tel que u0(0)=u0(Pi)=0. On précisera ce u0.
3° Soit f une fonction impaire, 2*Pi - périodique avec f(x)=1 pour tout x appartenant à ]0,Pi[.
Déterminer f(0) et f(Pi). Calculer les coefficients de Fourier & ....



Exo 2 :
Soit E un ev de dimension finie et f appartenant à L(E) tel que (f^4) - 3*(f^3) + 2*f = 0.
Montrer que Im(f) et Ker(f) sont supplémentaires.
....