PC/PC* LYCEE CEZANNE

Oral de maths CCP - lycée Molière
Heure de convocation: 7h 45
Heure de passage: 8h
Examinateur: reformule ses questions lorsqu'elles ne sont pas claires, plutôt souriant et sympathique, enchaine rapidement les questions ne demandant parfois qu'une explication de la méthode sans application.
Exercices: un exercice sur un arc paramétré à préparer en 30 min, puis un autre donné au tableau sans préparation pour les 5-10 minutes restantes.

exercice 1
Le plan est muni d'un repère (O,i,j) orthonormé. On s?intéresse à l?ensemble des points M(t) avec x(t)=(1-t^2)/(1+t^2) et y(t)=(t-t^3)/(1+t^2)
1) Montrer que t^4+4t^2-1=0 admet uniquement deux solutions qui sont to=√(√5-2) et -to=-√(√5-2). Donner le signe de t^4+4t^2-1 sur R.
(demande une explication précise sur la détermination du signe)
2)a)Calculer M(-t). Que peut-on en déduire pour l'étude de l'arc paramétré?
2)b)Calculer les variations de x et y.
3)a)Tracer l'arc en donnant les asymptotes et tangentes
(demande justification des limites obtenues et l'ajout d'un point pour plus de précision)
3)b)Soit A le point M(0) et delta une droite passant par A non parallèle à un des axes du repère. Montrer que l'équation de delta peut s'écrire p(x-1)=0 avec p dans N*.
4)a)Montrer que delta admet deux points d'intersection avec l'arc autre que A.
(Seulement la méthode)
4)b)Non préparée, l'examinateur a préféré passer à l'exercice suivant, je ne me souviens plus de cette question.

Exercice 2
soit f : M2(R) ------> M2(R) . Montrer que c'est un endomorphisme.
(a b) ------> (d -c)
(c d) (-b a)
Comment savoir si il est diagonalisable? ( j'ai proposé le calcul des valeurs propres en passant par la matrice de f)
donner une base de M2(R) et la matrice de f dans cette base.
Expliquer comment calculer les valeurs propres ( pas de calcul, polynome caractéristique donné)
Cf(X)=(X-1)^2 x (X+1)^2
fin des 30 minutes

( la racine carrée n'est pas passée..)
to=sqrt ( sqrt(5) - 2 ) et on donne x(to)=0,6 et y(to)=0,3 environ

Derni?re modification le 28-06-2013 ? 17:50:18

merci lisa