Toujours dans la série des petites mines au Lycée Maurice Ravel (cf post en physique pour plus de détails).
Les maths constituaient ma dernière épreuve : convocation à 16h30, 20 minutes de préparation puis 30 min de passage. Jury MA10, la cinquantaine et parle peu. Il m'a aidé à quelques reprises mais attend de voir comment on s'en sort face à la difficulté. Petit problème : qu'il s'agisse de l'algèbre ou de l'analyse, aucun des sujets ne m'a vraiment inspiré, et à la fin des 20min je n'avais qu'une question de potable... Ca s'annonçait mal, et pourtant...
Exo d'analyse :
On considère la suite (Un) avec n entier définie par : Un^3 + n.Un = 1
1) Vérifier que cette relation définit bien une suite
2) Cette suite est-elle convergente ? Si oui, limite ?
3) Développement asymptotique à l'ordre 2 (je crois)
Exo d'algèbre
Soit A une matrice carrée d'ordre n donnée
On considère l'endomorphisme Phi qui à une matrice M associe tr(A).M + tr(M).A
1) Noyau et Image
2) Diagonalisable ?
Je commence avec l'analyse et ma pauvre question 1, seule chose non raturée sur mon brouillon. Sachant que je n'ai rien de bien concret à présenter, je décide de lui exposer mon raisonnement et mes erreurs, des remarques sur ce qui nous arrangerait et ce qu'il faudrait pour y arriver, bref comment rebondir après ses échecs. Ca lui a apparemment beaucoup plu !
Pour la question 1 on introduit la fonction fn qui à x associe x^3 + n.x - 1. Grace au th de la bijection, on montre qu'elle s'annule une unique fois mais je me rends compte que ce n'est bon que pour tout n entier SUPERIEUR à 1 (sinon la stricte monotonie n'est pas respectée, du coup il faut faire un cas à part pour n=0, en disant que Uo=1 convient et que c'est bien unique car la suite est réelle). Pour la question 2, je montre par l'absurde à l'aide de la relation donnée et passage à la limite que si il y a une limite, elle est finie et c'est 0. Il ne s 'y attendait pas mais a apprécié la recherche. Il me donne un indice en me demandant de mettre Un en facteur dans la relation. On en déduit une majoration de Un par 1/n et par un tableau de signe de fn à la question 1 on trouve une minoration par 0. Puis théorème des gendarmes. Il me demande ensuite de passer au deuxième exo (tant mieux, je n'ai jamais compris ce que c'est qu'un DA). Ce fut laborieux mais il a pu voir l'ensemble de mon cheminement, toujours à l'oral.
Deuxième exo
Pour la question 1, 3 cas sont à distinguer : A=0, trA=0 et A non nulle, A non nulle et trA non nulle. J'ai du mal à aboutir à mes tentatives mais je continue à exposer mon raisonnement calmement, et je finis par m'en sortir petit à petit. (Pour le 1er cas, le noyau c'est Mn(R) et Im c'est la matrice nulle, pour le deuxième cas le noyau c'est l'ensemble des matrices dont la trace est nulle. On reconnait l'équation d'un hyperplan. L'image est alors une droite dont un vecteur directeur est A. Pour le 3è cas, on peut en appliquant la trace et sa linéarité pour montrer que le noyau est inclus dans l'ensemble des matrices à traces nulles, puis à l'aide de l'expression de Phi on montre que seule la matrice nulle est dans KerPhi. Donc Phi injective, donc surjective car égalité des dimensions finies, donc l'images c'est Mn(R). Pas le temps de traiter la dernière question. Au final, un oral laborieux, mais lui est ravi. Il me dit à la fin : "En trois semaines, j'ai vu passer pas mal de candidats, mais c'est celui qui m'a le plus impressionné. Vous faites des erreurs mais vous les faites intelligemment, et c'est la première qualité d'un matheux".
Moralité pour ceux qui ont encore des épreuves de maths : On peut très bien réussir un oral sans réussir son exercice... En maths en tout cas...
